AI摘要：

这篇文章介绍了信号处理领域的基础知识，包括不同类型的信号如矩形脉冲、sinc脉冲、Dirac冲激等，以及复信号、复正弦等概念。作者详细讨论了傅里叶变换及其在时域和频域之间的转换关系，以及傅里叶变换的实用性质。文章还探讨了信号的内积、能量谱密度与相关函数，以及功率信号的内积、功率谱密度与相关函数，引入了一系列相关的数学定义和性质。此外，作者讨论了带宽的概念，包括带通信号的基带等效表示。文章涉及的主题丰富，涵盖了信号与系统的基本概念，为深入理解信号处理提供了良好的基础。

信号

  • 矩形脉冲

    $$ rect \left( \frac{t}{T} \right) = \begin{cases} 1, & \text {|t|<T/2} \\ 0, & \text {|t|>T/2} \end{cases} $$

    宽度为T，高度为1

  • sinc脉冲

    $$ sinc \left( \frac{t}{T} \right) = Sa \left( \frac{\pi t}{T} \right) = \frac{\sin(\frac{\pi t}{T})}{\frac{\pi t}{T}} $$

  • Dirac冲激

    $$ \delta(t)=\begin{cases} \infty, & \text {t=0} \\ 0, & \text {t$\neq$0} \end{cases} $$

    采样性：$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-t_0)g(t)\, {\rm d}t = g(t_0)$

  • 周期冲激序列

    $$ s(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty \delta(t-kT), -\infty \le t \le \infty $$

  • 复信号

    $$ z(t)=a(t)+j·b(t)=A(t)·e^{j· \phi(t)} $$

  • 复正弦

    $$ z(t)=e^{j2\pi vt}=\cos(2\pi vt)+j·\sin(2\pi vt) $$

    v为频率，单位Hz

  • 任意实信号可表示为一对共轭复信号之和

    $$ s(t)=Re\{z(t)\}=\frac{1}{2}\{z(t)+z^*(t)\} $$

  • 功率、能量（默认1欧姆阻抗）

    $$ P_s=\overline{s^2(t)} \qquad E_s=\int_{-\infty}^{\infty} s^2(t)\, {\rm d}t $$

    $$ P_z=\overline{\left\vert z(t) \right\vert^2}=\overline{a^2(t)}+\overline{b^2(t)} \qquad $$

    $$ E_z=\int_{-\infty}^{\infty} a^2(t)\, {\rm d}t + \int_{-\infty}^{\infty} b^2(t)\, {\rm d}t = \int_{-\infty}^{\infty} \left\vert z(t) \right\vert^2\, {\rm d}t $$

  • 功率信号：信号的功率非零有界；能量信号：信号的能量非零有界

傅里叶变换

  • 复正弦是构成信号的基本元素

    $$ 1,e^{j2\pi \frac{\pm1}{T}t},e^{j2\pi \frac{\pm2}{T}t},e^{j2\pi \frac{\pm3}{T}t},··· $$

  • 傅里叶级数（信号数学建模）

    $$ s(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty s_n·e^{j2\pi \frac{n}{T}t} $$

    $$ s_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} s(t)e^{-j2\pi \frac{n}{T}t}\, {\rm d}t=\overline{\left[ s(t)e^{-j2\pi \frac{n}{T}t} \right]} $$

  • 频谱 $\left\{ s_n \right\}$

  • 频谱密度：傅里叶变换 $\left\{ \frac{s_n}{\Delta} \right\}$

    $$ \lim_{T \to \infty}\left\{ \frac{s_n}{\Delta} \right\}=\lim_{T \to \infty}\int_{-T/2}^{T/2} s(t)e^{-j2\pi \frac{n}{T}t}\, {\rm d}t=\int_{-\infty}^{\infty} s(t)e^{-j2\pi \frac{n}{T}t}\, {\rm d}t\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}S(f) $$

    S(f)为s(t)的傅里叶变换或频谱密度，反之称为傅里叶反变换，两者合称傅里叶变换对

    $$ s(t)=\int_{-\infty}^{\infty} S(f)e^{j2\pi ft}\, {\rm d}t=\mathcal{F}^{-1}[S(f)] $$

    $$ S(f)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t)e^{-j2\pi ft}\, {\rm d}t=\mathcal{F}[s(t)] $$

    即利用标准正交基进行时域和频域的转化

  • 时域和频域微分

    $$ \mathcal{F}[s'(t)]=\mathcal{F}[\mathcal{F}^{-1}[(j2\pi f)S(f)]]=(j2\pi f)S(f) $$

    $$ \mathcal{F}^{-1}[S'(f)]=\mathcal{F}[\mathcal{F}^{-1}[(-j2\pi t)s(t)]]=(-j2\pi t)s(t) $$

    傅里叶变换的实用性质

  • 一个域中的原点值是另一个域中的面积

  • 矩形的傅里叶变换是sinc，sinc的傅里叶变换是矩形

    $$ rect \left( \frac{t}{T} \right) \Leftrightarrow T·sinc(fT) $$

    $$ sinc \left( \frac{t}{T} \right) \Leftrightarrow T·rect(fT) $$

    sinc前面乘的是矩形的面积，sinc()括号内t或f前乘的是矩形的宽度

  • 时域越宽，频域越窄；频域越宽，时域越窄

  • 取极限可知直流的傅里叶变换是冲激，冲激的傅里叶变换是直流

    $$ \delta(t) \Leftrightarrow 1 $$

  • 时域和频域中，一个域平移，另一个域就是调制

    $$ \mathcal{F}[s(t-t_0)]=S(f)e^{-j2\pi ft_0} $$

    $$ \mathcal{F}^{-1}[S(f-f_0)]=s(t)e^{j2\pi f_0t} $$

  • 时域镜像，则频域镜像;时域共轭，则频域镜像共轭

    $$ \mathcal{F}[s(-t)]=S(-f) \quad \mathcal{F}[s^*(t)]=S^*(-f) $$

    实信号$s^*(t)=s(t)$，因此实信号的频谱满足共轭偶对称

    $$ S(f)=S^*(-f) \quad S(-f)=S^*(f) $$

内积

  • 信号内积

    $$ \left \langle x(t),y(t) \right \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t)\, {\rm d}t $$

  • 时域内积=频域内积

    $$ \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t)\, {\rm d}t=\int_{-\infty}^{\infty} X(f)Y^*(f)\, {\rm d}f $$

  • 时域正交=频域正交

    $$ \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t)\, {\rm d}t=0 \Leftrightarrow \int_{-\infty}^{\infty} X(f)Y^*(f)\, {\rm d}f=0 $$

  • 信号的能量是信号与其自身的内积

    $$ E_s=\left \langle s(t),s(t) \right \rangle $$

  • 帕瑟瓦尔定理:信号的能量在频域和时域上相等

    $$ E_s=\int_{-\infty}^{\infty} |s(t)|^2\, {\rm d}t=\int_{-\infty}^{\infty} |S(f)|^2\, {\rm d}f $$

  • 互能量

    $$ E_{xy}=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t)\, {\rm d}t =\left[ \int_{-\infty}^{\infty} y(t)x^*(t)\, {\rm d}t \right]^*=E_{yx}^* $$

  • 信号之和的能量

    $$ \begin{aligned} E_{x+y} & =\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)+y(t)|^2\, {\rm d}t \\ & =\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2+|y(t)|^2+x(t)y^*(t)+y(t)x^*(t)\, {\rm d}t \\ & =E_x+E_y+E_{xy}+E_{yx} \\ & =E_x+E_y+2Re\{E_{xy}\} \end{aligned} $$

  • Cauchy-Schwarz不等式

    $$ |E_{xy}| \leq \sqrt{E_x E_y} $$

    $$ \left|\int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t)\, {\rm d}t \right| \leq \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\, {\rm d}t · \int_{-\infty}^{\infty} |y(t)|^2\, {\rm d}t} $$

    $$ 当且仅当x(t)=k·y(t)时等号成立，k为任意系数 $$

  • 归一化相关系数

    $$ \rho _{xy} = \frac{E_{xy}}{\sqrt{E_x E_y}} $$

    $$ |\rho _{xy}| \leq 1 $$

    (能量归一化：$\int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{x(t)}{\sqrt{E_x}} \right|^2\, {\rm d}t = \frac{1}{E_x} \int_{-\infty}^{\infty} \left| x(t) \right|^2\, {\rm d}t = \frac{1}{E_x} · E_x = 1$)

能量谱密度与相关函数（能量信号）

  • 能量谱密度：信号的能量在频率轴上的分布密度

    $$ E_s(f)=\frac{P_s·T}{\Delta}=\frac{|s_n|^2}{\Delta ^2}=\left| \frac{s_n}{\Delta} \right|^2=\left| S(f) \right|^2 $$

    $$ 互能量同理：E_{xy}(f)=X(f)Y^*(f),E_{yx}(f)=X^*(f)Y(f) $$

    能量谱密度积分得能量

    $$ E_s=\int_{-\infty}^{\infty} \left| s(t) \right|^2\, {\rm d}t =\int_{-\infty}^{\infty} \left| X(f) \right|^2\, {\rm d}f =\int_{-\infty}^{\infty} E_s(f)\, {\rm d}f $$

    $$ E_{xy}=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t)\, {\rm d}t =\int_{-\infty}^{\infty} X(f)Y^*(f)\, {\rm d}f =\int_{-\infty}^{\infty} E_{xy}(f)\, {\rm d}f $$

  • 相关函数

    $$ 自相关函数：信号的延迟与自身的内积 $$

    $$ R_s(\tau )=\int_{-\infty}^{\infty} s(t+\tau )s^*(t)\, {\rm d}t $$

    $$ 互相关函数：不同信号时间错开后的内积 $$

    $$ R_{xy}(\tau )=\int_{-\infty}^{\infty} x(t+\tau )y^*(t)\, {\rm d}t $$

    相关函数反映信号错开后的相似程度

  • 自相关函数的傅里叶变换是自能量谱密度

    $$ \mathcal{F}[R_s(\tau )] = |S(f)|^2 = E_s(f) $$

  • 互相关函数的傅里叶变换是互能量谱密度

    $$ \mathcal{F}[R_{xy}(\tau )]=X(f)Y^*(f)=E_{xy}(f) $$

    $$ \mathcal{F}[R_{yx}(\tau )]=Y(f)X^*(f)=E_{yx}(f) $$

  • 相关函数共轭偶对称

    $$ R_{s}(\tau )=R_{s}^*(-\tau ) \quad R_{xy}(\tau )=R_{yx}^*(-\tau ) $$

  • 自相关函数的上界是自能量，自相关函数在$\tau =0$处取得最值能量，互相关函数在$\tau =0$处的值是互能量，上界是两个信号能量的几何平均，在$y(t)=k·x(t+\tau )$时取得最大

    $$ |R_s(\tau )| = \left| \int_{-\infty}^{\infty} s(t+\tau )s^*(t)\, {\rm d}t \right| \leq \sqrt{E_s ·E_s} = E_s = R_s(0) $$

    $$ |R_{xy}(\tau )| = \left| \int_{-\infty}^{\infty} x(t+\tau )y^*(t)\, {\rm d}t \right| \leq \sqrt{E_x ·E_y} \quad R_{xy}(0)=E_{xy} $$

功率谱密度与相关函数（功率信号）

  • 功率信号的能量无穷，使得互能量无意义，对此定义内积：

    $$ \left \langle x,y \right \rangle \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{T \to \infty} \left\{ \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t)y^*(t)\, {\rm d}t \right\} = \overline{x(t)y^*(t)} $$

  • 功率为信号与自己的内积

    $$ P_s = \left \langle s,s \right \rangle = \lim_{T \to \infty} \left\{ \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} s(t)s^*(t)\, {\rm d}t \right\} = \overline{|s(t)|^2} $$

  • 互功率为信号之间的内积

    $$ P_{xy} = \left \langle x,y \right \rangle = \lim_{T \to \infty} \left\{ \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t)y^*(t)\, {\rm d}t \right\} = \overline{x(t)y^*(t)} $$

  • Cauchy-Schwarz不等式

    $$ |P_{xy}| \leq \sqrt{P_x P_y} $$

  • 功率谱密度=能量谱密度÷时间
    自功率谱密度:

    $$ P_s(f)= \lim_{T \to \infty} \left\{ \frac{1}{T} |S_T(f)|^2 \right\} $$

    互功率谱密度:

    $$ P_{xy}(f)= \lim_{T \to \infty} \left\{ \frac{1}{T} X_T(f)Y_T^*(f) \right\} $$

    $$ P_{yx}(f)= \lim_{T \to \infty} \left\{ \frac{1}{T} Y_T(f)X_T^*(f) \right\} $$

    功率谱密度积分得功率

    $$ P_x = \overline{|x(t)|^2} = \int_{-\infty}^{\infty} P_x(f)\, {\rm d}f $$

    $$ P_{xy} = \overline{x(t)y^*(t)} = \int_{-\infty}^{\infty} P_{xy}(f)\, {\rm d}f $$

    $$ P_{yx} = \overline{y(t)x^*(t)} = \int_{-\infty}^{\infty} P_{yx}(f)\, {\rm d}f $$

  • 功率信号的相关函数（平均高度）

    $$ R_{s}(\tau ) = \overline{[s(t+\tau )s^*(t)]} $$

    $$ R_{yx}(\tau ) = \overline{[y(t+\tau )x^*(t)]} $$

    $$ R_{xy}(\tau ) = \overline{[x(t+\tau )y^*(t)]} $$

  • 相关函数的傅里叶变化是谱密度

    $$ \mathcal{F}[R_s(\tau )] = P_s(f) $$

    $$ \mathcal{F}[R_{xy}(\tau )] = P_{xy}(f), \mathcal{F}[R_{yx}(\tau )] = P_{yx}(f) $$

  • 相关函数共轭偶对称

    $$ R_{s}(\tau )=R_{s}^*(-\tau ) \quad R_{xy}(\tau )=R_{yx}^*(-\tau ) $$

  • 自相关函数的上界是自功率，自相关函数在$\tau =0$处取得；互相关函数在$\tau =0$处的值是互功率，上界是两个信号功率的几何平均，在$y(t)=k·x(t+\tau )$时取得最大

    $$ |R_s(\tau )| = \left| \overline{x(t+\tau )x^*(t)} \right| \leq \sqrt{P_s ·P_s} = P_s = R_s(0) $$

    $$ |R_{xy}(\tau )| = \left| \overline{x(t+\tau )y^*(t)} \right| \leq \sqrt{P_x ·P_y} \quad R_{xy}(0)=P_{xy} $$

带宽

  • 实信号的带宽只按正频率部分计算

  • 单边谱密度：将数学中的谱密度（双边谱）的负频率部分对折到正频率

    $$ P_x^单(f)=P_x(f)+P_x(-f)=2P_x(f) \quad f \geq 0 $$

  • 绝对带宽、主瓣带宽、3dB带宽、等效矩形带宽、按能量占比定义的带宽
  • 1、2、3 dB = $10^{0.1}、10^{0.2}、10^{0.3}$ 倍
  • 3 dB $\approx$ 2倍

滤波器

  • 滤波器具有频率选择性，$H(f)$为滤波器的传递函数

    $$ s(t) = \lim_{T \to \infty} \left\{ \sum_{n=-\infty}^\infty s_n e^{j2\pi \frac{n}{T} t} \right\} = \int_{-\infty}^{\infty} S(f)e^{j2\pi ft}\, {\rm d}f $$

    $$ \mathop{\Longrightarrow} \limits_{H(f)}^{滤波器} $$

    $$ \lim_{T \to \infty} \left\{ \sum_{n=-\infty}^\infty s_n H(f_n) e^{j2\pi \frac{n}{T} t} \right\} = \int_{-\infty}^{\infty} S(f) H(f) e^{j2\pi ft}\, {\rm d}f=s'(t) $$

    $$ S'(f)=S(f)H(f) $$

  • 频域内积=时域卷积

    $$ \begin{aligned} s'(t) & = \int_{-\infty}^{\infty} S(f)H(f)e^{j2\pi ft}\, {\rm d}f \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} S(f)e^{j2\pi ft}[H^*(f)]^*\, {\rm d}f \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} s(t+\tau )[h^*(-\tau )]^*\, {\rm d}\tau \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} s(t-\tau )h(\tau )\, {\rm d}\tau \\ & = s(t) \otimes h(t) \end{aligned} $$

  • 单位冲激响应通过滤波器反映传递函数对全元素的处理，单位冲激响应是传递函数的傅里叶反变换
  • 滤波器是复增益放大器，放大倍数是复数且有频率选择性，能量、功率的增益等于幅度增益的模平方

  • 希尔伯特变换
    将实信号s(t)通过一个传递函数为−j·sgn(f)的滤波器，称其输出$\hat{s}(t)$是s(t)的希尔伯特变换，传递函数−j·sgn(f)对应的冲激响应是$\frac{1}{\pi t}$

    $$ \hat{s}(t) =s(t) \otimes \frac{1}{\pi t} = \int_{-\infty}^{\infty} s(\tau )·\frac{1}{\pi ·(t-\tau )}\, {\rm d}\tau $$

  • 信号$s(t)$与其希尔伯特变换$\hat{s}(t)$正交
  • 希尔伯特变换不改变功率（能量）、功率（能量）谱密度、自相关函数

  • 解析信号
    将实信号s(t)通过一个传递函数为1+sgn(f)的滤波器，称其输出z(t)是s(t)对应的解析信号，解析信号z(t)只有正频率部分，虚部是实部的希尔伯特变换

    $$ Z(f)=S(f)[1+sgn(f)]=S(f)+j·[-j·sgn(f)S(f)] $$

    $$ z(t)=s(t)+j·\hat{s}(t) $$

  • 解析信号的自相关函数是自相关函数的解析信号

带通信号的基带等效

  • 基带信号（低通信号）：信号的功率或能量主要集中在f=0附近
  • 频带信号（带通信号）：信号的功率或能量主要集中在某个载频$f_c$附近（默认假设最高频率不超过$2f_c$）

  • 复包络：带通信号转化为解析信号后，将解析信号频谱搬移至原点（整个过程不损失信息，可逆），$x_L(t)$成为复包络，$e^{j2\pi f_c t}$称为复载波（名称来源于包络调制）

    $$ 带通信号：s(t)=Re\left\{ z(t) \right\} =Re \left\{ s_L(t)e^{j2\pi f_c t} \right\} $$

    $$ 解析信号：z(t)=s(t)+j·\hat{s}(t)=s_L(t)e^{j2\pi f_c t} $$

    $$ 复包络：s_L(t)=z(t)e^{-j2\pi f_c t}=[s(t)+j·\hat{s}(t)]e^{-j2\pi f_c t} $$

  • 频域关系
    f-rlt.png

  • 同相分量、正交分量、包络、相位

    $$ s_L(t)=s_c(t)+j·s_s(t)=A(t)e^{j\phi (t)} $$

    $$ 同相分量：s_c(t)=Re\left\{ s_L(t) \right\}=A(t)\cos\phi (t) $$

    $$ 正交分量：s_s(t)=Im\left\{ s_L(t) \right\}=A(t)\sin\phi (t) $$

    $$ 包络：A(t)=|x_L(t)|=\sqrt{s_c^2(t)+s_s^2(t)} $$

    $$ 相位：\phi (t)=\angle x_L(t)=\tan ^{-1}\frac{s_s(t)}{s_c(t)} $$

    $$ \begin{aligned} s(t) & = Re \left\{ s_L(t)e^{j2\pi f_c t} \right\} \\ & = s_c(t)\cos(2\pi f_c t)-s_s(t)\sin(2\pi f_c t) \\ & = A(t)\cos[2 \pi f_c t+ \phi (t)] \end{aligned} $$

  • 参考载波（通常默认$\phi = 0$）

    $$ 实载波\cos(2\pi f_c t+\phi ) \quad 复载波e^{j2\pi f_c t+ \phi} $$

  • I/Q调整与解调

    $$ s_L(t)=I(t)+j·Q(t) $$

    $$ s(t)=I(t)\cos(2\pi f_c t)-Q(t)\sin(2\pi f_c t) $$

    IQ.png

  • 通信系统的复数表示
    ZXL.png
  • 每一个带通信号都可以等效转换为基带信号而不损失信息，带通信号$x(t)$通过带通系统$h(t)$变成带通信号$y(t)$，此问题可等价看成是：复包络$x_L(t)$通过一个等效基带系统$h_e(t)$变成了另一个复包络$y_L(t)$。
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